10.6: Mozaïekpatronen (2023)

Laatst bijgewerkt
Opslaan als PDF

Pagina-ID: 129644

$ \nieuwcommando{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}}}$ $ \nieuwcommando{\vecd}[1]{\overset{-\!- \!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{#1}}} $$\nieuwcommando{\id}{\mathrm{id}}$ $ \nieuwcommando{\Span}{\mathrm{ span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart }{\mathrm{Re}}$ $ \nieuwcommando{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \nieuwcommando{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \nieuwcommando{\ norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \nieuwcommando{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \nieuwcommando{\Span}{\mathrm {span}}$ $\nieuwcommando{\id}{\mathrm{id}}$ $ \nieuwcommando{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \nieuwcommando{\kernel}{\ mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{ \ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \nieuwcommando{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \nieuwcommando{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \nieuwcommando{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \nieuwcommando{\Span}{\mathrm{span}}$$\nieuwcommando{\AA}{ \unicode[.8,0]{x212B}}$

Figuur 10.101Penrose-tegels vertegenwoordigen één type mozaïekpatroon. (tegoed: "Penrose Tiling" door Inductieveload/Wikimedia Commons, Public Domain)

leerdoelen

Na het voltooien van dit gedeelte zou u in staat moeten zijn om:

Pas vertalingen, rotaties en reflecties toe.
Bepaal of een vorm een mozaïekpatroon heeft.

De afbeelding hierboven (Figuur 10.101) is een ongewoon patroon dat Penrose-tegels wordt genoemd. Merk op dat er in het patroon twee soorten vormen worden gebruikt: kleinere groene parallellogrammen en grotere blauwe parallellogrammen. Het interessante aan dit ontwerp is dat, hoewel het steeds maar twee vormen gebruikt, er geen herhalend patroon is.

In dit gedeelte zullen we ons concentreren op patronen die zich herhalen. Herhaalde patronen zijn te vinden in architectuur, stoffen, vloertegels, muurpatronen, tapijtpatronen en ook op veel onverwachte plaatsen. Het kan een eenvoudige zeshoekige vloertegel zijn, of een complex patroon dat uit verschillende motieven bestaat. Deze tweedimensionale ontwerpen worden reguliere (of periodieke) ontwerpen genoemdmozaïekpatronen. Er zijn talloze ontwerpen die kunnen worden geclassificeerd als regelmatige vlakvullingen, en ze hebben allemaal één ding gemeen: hun patronen herhalen zich en bedekken het vlak.

We zullen onderzoeken hoe vlakvullingen worden gemaakt en experimenteren met het maken van enkele van onze eigen mozaïeken. Het onderwerp vlakvullingen behoort tot een vakgebied in de wiskunde dat transformationele geometrie wordt genoemd. Dit is een onderzoek naar de manieren waarop objecten kunnen worden verplaatst terwijl ze dezelfde vorm en grootte behouden. Deze bewegingen worden genoemdstijve bewegingenEnsymmetrieën.

Wie weet?

M.C. Escher

Een goede plek om te beginnen met de studie van vlakvullingen is het werk van M.C. Escher. De Nederlandse graficus stond bekend om de dimensionale illusies die hij creëerde in zijn houtsneden en litho's, en dat thema wordt ook in veel van zijn vlakvullingen doorgevoerd. Escher raakte geobsedeerd door het idee van de ‘regelmatige vlakverdeling’. Hij zocht naar manieren om het vlak te verdelen met vormen die precies naast elkaar pasten, zonder gaten of overlappingen, prachtige patronen vertegenwoordigden en oneindig herhaald konden worden om het vlak te vullen. Hij experimenteerde met vrijwel elke denkbare geometrische vorm en vond de vormen die een regelmatige vlakverdeling zouden opleveren. Het idee is vergelijkbaar met het delen van een getal door een van de factoren. Wanneer een getal een ander getal gelijkmatig verdeelt, zijn er geen resten, net zoals er geen gaten zijn wanneer een vorm het vlak verdeelt of vult.

Escher ging veel verder dan geometrische vormen, voorbij driehoeken en veelhoeken, voorbij onregelmatige veelhoeken, en gebruikte andere vormen zoals figuren, gezichten, dieren, vissen en vrijwel elk type object om zijn doel te bereiken; en hij bereikte het op prachtige wijze en liet het aan de eeuwen over om het te waarderen.

Video

M.C. Escher: Hoe maak je een mozaïekpatroon

De wiskundige kunst van M.C. Escher

Mozaïekpatrooneigenschappen en transformaties

Een regelmatige mozaïekpatroon betekent dat het patroon bestaat uit congruente regelmatige veelhoeken, inclusief dezelfde grootte en vormeen soort beweging; dat wil zeggen, een soort transformatie of symmetrie. Hier beschouwen we de starre bewegingen van translaties, rotaties, reflecties of glijreflecties. Een vlak van vlakvullingen heeft de volgende eigenschappen:

Patronen worden herhaald en vullen het vlak.
Er zijn geen hiaten of overlappingen. Vormen moeten perfect bij elkaar passen. (Het was Escher die vaststelde dat een goede mozaïekpatroon geen gaten en geen overlappingen mocht hebben.)
Vormen worden gecombineerd met behulp van een transformatie.
Alle vormen zijn samengevoegd in een hoekpunt. Met andere woorden, als je een cirkel rond een hoekpunt zou tekenen, zou dit een hoek van elke vorm omvatten die dat hoekpunt raakt.
Voor een mozaïekpatroon van regelmatige congruente veelhoeken is de som van de afmetingen van de binnenhoeken die elkaar ontmoeten in een hoekpunt gelijk aan $360^{\circ} .$

In figuur 10.102 bestaat de mozaïekpatroon uit vierkanten. Er zijn vier vierkanten die samenkomen in een hoekpunt. Een binnenhoek van een vierkant is $90^{\circ} In figuur 10.103 bestaat de mozaïekpatroon uit regelmatige zeshoeken. Er zijn drie zeshoeken die bij elk hoekpunt samenkomen. De binnenhoek van een zeshoek is 120^{\circ}, en de som van drie binnenhoeken is 360^{\circ} . Beide vlakvullingen vullen het vlak, er zijn geen gaten, de som van de binnenhoek die bij het hoekpunt samenkomt is 360^{\circ}, en beide worden bereikt door vertaaltransformaties. Deze mozaïekpatronen werken omdat alle eigenschappen van een mozaïekpatroon aanwezig zijn.$

Figuur 10.102Mozaïekpatroon – Vierkantjes

Figuur 10.103Mozaïekpatroon – Zeshoeken

De bewegingen of starre bewegingen van de vormen die mozaïekpatronen definiëren, worden geclassificeerd als translaties, rotaties, reflecties of glijdende reflecties. Laten we eerst deze bewegingen definiëren en vervolgens kijken naar enkele voorbeelden die laten zien hoe deze transformaties aan het licht komen.

Vertaling

Avertalingis een beweging die de vorm verticaal, horizontaal of diagonaal verschuift. Beschouw de trapezium $A B C D Figuur 10.104. We hebben het 3 eenheden naar rechts en 3 eenheden naar boven vertaald. Dat betekent dat elke hoek wordt verplaatst met het aantal eenheden en in de aangegeven richting. Wiskundigen zullen deze beweging aangeven met een vector, een pijl die wordt getekend om de criteria en de omvang van de vertaling te illustreren. De locatie van het vertaalde trapezium is gemarkeerd met de hoekpunten, A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}, maar het heeft nog steeds exact dezelfde vorm en grootte als het originele trapezium A B C D .$

Figuur 10.104Vertaling

Voorbeeld 10.34

Een vertaling maken

Stel dat je een zeshoek op een raster hebt, zoals in figuur 10.105. Verplaats de zeshoek 5 eenheden naar rechts en 3 eenheden naar boven.

Figuur 10.105

Antwoord

De beste manier om dit te doen is door de afzonderlijke punten te vertalen $A, B, C, D, E, F$ . Eenmaal vertaald, worden de punten $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}, E^{'}, F^{'} .$

Figuur 10.106

Jouw beurt 10.34

Vertaal de zeshoek met punten/**/A',/**/ /**/B',/**/ /**/C', /**/ /**/D',/**/ /**/E',/**/ /**/F'/**/6 eenheden lager.

Figuur 10.107

Rotatie

De rotatietransformatie vindt plaats wanneer u een vorm rond een punt en onder een vooraf bepaalde hoek roteert. In figuur 10.108 wordt de driehoek rond het rotatiepunt geroteerd met $90^{\circ},$ en vervolgens 7 eenheden naar boven en 4 eenheden naar rechts vertaald. Dat betekent dat elke hoek met hetzelfde aantal eenheden en in dezelfde richting naar de nieuwe locatie wordt vertaald.

Figuur 10.108Rotatie

Dat kunnen we zien $D A$ wordt in kaart gebracht $D A^{'}$ door een rotatie van $90^{\circ}$ omhoog en naar rechts. Indien opnieuw gedraaid door $90^{\circ}$ , zou de driehoek ondersteboven staan.

Voorbeeld 10.35

Een rotatie toepassen

Figuur 10.109 illustreert een mozaïekpatroon dat begint met een gelijkzijdige driehoek. Leg uit hoe dit patroon tot stand komt.

Figuur 10.109

Antwoord: Een rotatie naar rechts of naar links rond het hoekpunt door $60^{\circ},$ zes keer, produceert de zeshoekige vorm. De zesde rotatie brengt de driehoek terug naar zijn oorspronkelijke positie. Vervolgens zal een reflectie naar boven en een andere op de diagonaal het patroon reproduceren. Wanneer een vorm door een rotatie terugkeert naar zijn oorspronkelijke positie, zeggen we dat deze rotatiesymmetrie heeft.

Jouw beurt 10.35

Begin met de driehoek in de weergegeven afbeelding en leg uit hoe het patroon aan de rechterkant tot stand is gekomen.

Figuur 10.110

Reflectie

Areflectieis de derde transformatie. Een vorm wordt gereflecteerd rond een lijn en de nieuwe vorm wordt een spiegelbeeld. U kunt de vorm verticaal, horizontaal of diagonaal weerspiegelen. Er zijn twee vormen in figuur 10.111. De vierhoek wordt horizontaal gereflecteerd; de pijlvorm wordt verticaal gereflecteerd.

Figuur 10.111Reflectie

Glijdende reflectie

Deglijdende reflectieis de vierde transformatie. Het is een combinatie van reflectie en vertaling. Dit kan gebeuren door de vorm eerst te reflecteren en vervolgens te laten glijden of vertalen naar de nieuwe locatie, of door eerst te vertalen en dan te reflecteren. Het voorbeeld in figuur 10.112 toont een trapezium, dat wordt gereflecteerd over de stippellijn, zodat het ondersteboven lijkt. Vervolgens hebben we de vorm horizontaal 6 eenheden naar rechts verschoven. Of we nu eerst de glide gebruiken of eerst de reflectie, het eindresultaat is in de meeste gevallen hetzelfde. De mozaïekpatroon die in het volgende voorbeeld wordt getoond, kan echter alleen worden bereikt door eerst een reflectie en daarna een vertaling.

Figuur 10.112Glijdende reflectie

Voorbeeld 10.36

Het toepassen van de Glide-reflectie

Een stompe driehoek wordt weerspiegeld rond de stippellijn en de twee vormen zijn met elkaar verbonden. Hoe komt de mozaïekpatroon in figuur 10.113 tot stand?

Figuur 10.113

Antwoord: De nieuwe vorm wordt horizontaal gereflecteerd en samengevoegd met de oorspronkelijke vorm. Vervolgens wordt het verticaal en horizontaal vertaald om de mozaïekpatroon te vormen. Let op de lege ruimtes naast het verticale patroon. Deze gebieden bestaan uit de exacte originele vorm, geroteerd $180^{\circ},$ maar zonder lijn in het midden. Deze geroteerde vormen worden horizontaal en verticaal vertaald, waardoor het vlak zonder gaten een mozaïekpatroon heeft. Dit is een voorbeeld van een glijdende reflectie waarbij de volgorde van de transformaties ertoe doet.

Jouw beurt 10.36

Voorbeeld 10.37

Meer dan één mozaïekpatroon toepassen

Laat zien hoe deze mozaïekpatroon (Figuur 10.115) kan worden bereikt.

Figuur 10.115

Antwoord: Dit is een mozaïekpatroon met één kleur aan de voorkant van het trapezium en een andere kleur aan de achterkant. Er is een vertaling op de diagonaal en een reflectie verticaal. Dit zijn twee afzonderlijke transformaties die resulteren in twee nieuwe plaatsingen van de trapezium. We kunnen dit een combinatie van twee transformaties of een glijreflectie noemen.

Jouw beurt 10.37

Hoe komt deze mozaïekpatroon van de vierkanten tot stand?

Figuur 10.116

Binnenhoeken

De som van de binnenhoeken van een mozaïekpatroon is $360^{\circ} Figuur 10.117, de mozaïekpatroon bestaat uit zes driehoeken in de vorm van een zeshoek. Elke hoek binnen een driehoek is gelijk 60^{\circ}, en de zes hoekpunten voldoen aan de som van die binnenhoeken, 6 (60^{°}) = 360^{°} .$

Figuur 10.117Binnenhoeken op de hoekpunten van driehoeken

In figuur 10.118 bestaat de mozaïekpatroon uit trapeziums, zodat twee van de binnenhoeken van elk trapezium gelijk zijn aan $75^{°}$ en de andere twee hoeken zijn gelijk $105^{°}$ . De som van de binnenhoeken waar de hoekpunten van vier trapeziums elkaar ontmoeten, is dus gelijk $105^{°} + 75^{°} + 75^{°} + 105^{°} = 360^{°}$ .

Figuur 10.118Binnenhoeken bij de top van trapeziums

Deze mozaïekpatronen illustreren de eigenschap dat de vormen samenkomen op een hoekpunt waar de binnenhoeken optellen $360^{°}$ .

Mozaïekvormen

We zouden kunnen denken dat alle regelmatige veelhoeken vanzelf een mozaïekpatroon in het vlak vormen. We hebben gezien dat vierkanten dat doen en zeshoeken. Het patroon van vierkanten in figuur 10.119 is een vertaling van de vorm horizontaal en verticaal. Het zeshoekige patroon in figuur 10.120 wordt horizontaal vertaald en vervolgens diagonaal, naar rechts of naar links. Dit specifieke patroon kan ook worden gevormd door rotaties. Beide mozaïekpatronen zijn opgebouwd uit congruente vormen en elke vorm past perfect in het patroon dat zich herhaalt.

Figuur 10.119Vertaal horizontaal en verticaal

Figuur 10.120Horizontaal vertalen en diagonaal schuiven

We hebben ook gezien dat gelijkzijdige driehoeken het vlak zonder gaten of overlappingen als mozaïek vormen, zoals weergegeven in figuur 10.121. Het patroon ontstaat door een reflectie en een vertaling. De donkere kant is de voorkant van de driehoek en de lichtere kant is de achterkant van de driehoek, zoals blijkt uit de reflectie. Elke driehoek wordt gereflecteerd en vervolgens op de diagonaal vertaald.

Figuur 10.121Reflectie en glijvertaling

Escher experimenteerde met alle regelmatige veelhoeken en ontdekte dat alleen de genoemde, de gelijkzijdige driehoek, het vierkant en de zeshoek, op zichzelf een mozaïekpatroon in het vlak vormen. Laten we een paar andere regelmatige veelhoeken proberen om te observeren wat Escher ontdekte.

Voorbeeld 10.38

Het vlak bekleden

Vormen regelmatige vijfhoeken zelf een mozaïekpatroon in het vlak (Figuur 10.122)?

Figuur 10.122

Antwoord: We kunnen zien dat regelmatige vijfhoeken het vlak niet zelf vormen. Er is een opening, een opening in de vorm van een parallellogram. We concluderen dat regelmatige vijfhoeken het vlak niet op zichzelf zullen vormen.

Jouw beurt 10.38

Vormen regelmatige zevenhoeken zelf een mozaïek van het vliegtuig?

Figuur 10.123

Voorbeeld 10.39

Mozaïekvormige achthoeken

Vormen regelmatige achthoeken op zichzelf een mozaïekpatroon in het vlak (Figuur 10.124)?

Figuur 10.124

Antwoord: Opnieuw zien we dat regelmatige achthoeken het vlak niet op zichzelf vormen. De gaten zijn echter vierkanten. Twee regelmatige veelhoeken, een achthoek en een vierkant, vormen dus een mozaïek van het vlak.

Jouw beurt 10.39

Vormen regelmatige twaalfhoeken (12-zijdige regelmatige veelhoeken) zelf een mozaïekpatroon in het vlak?

Figuur 10.125

Het feit dat regelmatige vijfhoeken op zichzelf geen mozaïekpatroon in het vlak vormen, betekent niet dat er geen vijfhoeken zijn die het vlak in mozaïekvorm weergeven, zoals we zien in figuur 10.126.

Figuur 10.126Mozaïekpatroon van vijfhoeken

Een ander voorbeeld van een onregelmatige veelhoek die het vlak vormt, is door gebruik te maken van de stompe onregelmatige driehoek uit een eerder voorbeeld. Welke transformaties moeten worden uitgevoerd om de mozaïekpatroon te verkrijgen die wordt weergegeven in figuur 10.127?

Figuur 10.127Mozaïekpatroon met stompe onregelmatige driehoeken

Eerst wordt de driehoek op het punt gereflecteerd over de punt $A$ , en vervolgens naar rechts vertaald en samengevoegd met de oorspronkelijke driehoek om een parallellogram te vormen. Het parallellogram wordt vervolgens op de diagonaal en naar rechts en naar links vertaald.

Wij

Een mozaïekpatroon van vierkanten wordt benoemd door een hoekpunt te kiezen en vervolgens het aantal zijden van elke vorm te tellen die het hoekpunt raken. Elk vierkant in de mozaïekpatroon weergegeven in figuur 10.128 heeft vier zijden, dus beginnend met een vierkant $A$ , het eerste getal is 4, en beweegt tegen de klok in naar het volgende vierkant dat het hoekpunt raakt, vierkant $B$ , we hebben er nog 4, vierkant $C$ voegt er nog eens 4 aan toe, en tenslotte vierkant $D$ voegt een vierde 4 toe. We zouden deze mozaïekpatroon dus een 4.4.4.4 noemen.

De zeshoekige mozaïekpatroon, weergegeven in figuur 10.129, heeft zes zijden en drie zeshoeken ontmoeten elkaar bij de top. We zouden dit dus een 6.6.6 noemen. De driehoeksmozaïek, weergegeven in figuur 10.130, heeft zes driehoeken die het hoekpunt raken. Elke driehoek heeft drie zijden. Daarom noemen we dit een 3.3.3.3.3.3.

Figuur 10.1284.4.4.4

Figuur 10.1296.6.6

Figuur 10.1303.3.3.3.3.3

Voorbeeld 10.40

Uw eigen mozaïekpatroon maken

Maak een mozaïekpatroon met twee kleuren en twee vormen.

Antwoord

We gebruikten een parallellogram en een gelijkbenige driehoek. Het parallellogram wordt verticaal en horizontaal gereflecteerd, zodat alleen elke andere hoek elkaar raakt. De driehoeken worden verticaal en horizontaal gereflecteerd en vervolgens over het parallellogram verschoven. Het resultaat is afwisselend verticale kolommen van parallellogrammen en vervolgens driehoeken (Figuur 10.131).

Figuur 10.131

Jouw beurt 10.40

Maak een mozaïekpatroon met veelhoeken, regelmatig of onregelmatig.

Controleer uw begrip

30.

Wat zijn de eigenschappen van herhaalde patronen waardoor ze als vlakvullingen kunnen worden geclassificeerd?

31.

Leg uit hoe het gebruik van de transformatie van een vertaling wordt toegepast op de beweging van deze vorm, beginnend met een punt/**/A/**/.

32.

Te beginnen met de driehoek met hoekpunt/**/B/**/, beschrijf hoe de transformatie in deze tekening tot stand komt.

33.

Begin met een driehoek met een donkerder gezicht en een lichtere achterkant en beschrijf hoe dit patroon tot stand kwam.

34.

Noem de mozaïekpatroon in de weergegeven afbeelding.

Sectie 10.5 Oefeningen

Welk type bewegingen worden gebruikt om de oriëntatie en plaatsing van een vorm te veranderen?

Hoe heet de beweging die een vorm ondersteboven weergeeft?

Hoe noemen we de beweging die een vorm naar rechts, links of diagonaal beweegt?

Als je het vlak gaat mozaïeken met een regelmatige veelhoek, wat is dan de som van de binnenhoeken die een hoekpunt omringen?

Vormt een regelmatige zevenhoek het vliegtuig zelf?

Wat zijn de enige regelmatige veelhoeken die het vlak zelf kunnen vormen?

Hoe wordt de transformatie genoemd die een vorm rond een punt naar een nieuwe positie draait?

Transformationele geometrie is een studie van wat?

Beschrijf hoe je een rotatietransformatie kunt realiseren.

10.

Construeer een/**/{90^ \circ }/**/rotatie van de weergegeven driehoek.

11.

Vormen kunnen rond een rotatiepunt of een ____________ worden geroteerd.

12.

Hoe heet de transformatie die een reflectie en een vertaling inhoudt?

13.

Wat kan een mozaïekpatroon zijnniettussen vormen hebben?

14.

Beschrijf de getoonde transformatie.

15.

Hoe noemen we een transformatie die een spiegelbeeld oplevert?

16.

Schets de weerspiegeling van de vorm rond de stippellijn.

17.

Schets de weerspiegeling van de vorm rond de stippellijn.

18.

Schets de vertaling van de vorm 3 eenheden naar rechts en 3 eenheden verticaal.

19.

Draai de vorm/**/{45^ \circ }/**/over het rotatiepunt met behulp van punt/**/A/**/als uw gids.

20.

Vormen regelmatige vijfhoeken op zichzelf een mozaïek van de vlakte?

21.

Wat hebben regelmatige vlakvullingen gemeen?

22.

Hoe zouden we een mozaïekpatroon van vierkanten noemen, zoals weergegeven in de figuur?

23.

Hoe noemen we een mozaïekpatroon van achthoeken en vierkanten zoals weergegeven in de figuur?

24.

Hoe zouden we een mozaïekpatroon van trapeziums noemen, zoals weergegeven in de figuur?

10.6: Mozaïekpatronen (2023)

leerdoelen

M.C. Escher

Mozaïekpatrooneigenschappen en transformaties

Vertaling

Een vertaling maken

Rotatie

Een rotatie toepassen

Reflectie

Glijdende reflectie

Het toepassen van de Glide-reflectie

Meer dan één mozaïekpatroon toepassen

Binnenhoeken

Mozaïekvormen

Het vlak bekleden

Mozaïekvormige achthoeken

Wij

Uw eigen mozaïekpatroon maken

Controleer uw begrip

Sectie 10.5 Oefeningen

References