10.5 Mozaïekpatronen - Hedendaagse wiskunde | OpenStax (2023)

leerdoelen

Na het voltooien van dit gedeelte zou u in staat moeten zijn om:

1. Pas vertalingen, rotaties en reflecties toe.
2. Bepaal of een vorm een ​​mozaïekpatroon heeft.

Mozaïekpatrooneigenschappen en transformaties

Een regelmatige mozaïekpatroon betekent dat het patroon bestaat uit congruente regelmatige veelhoeken, inclusief dezelfde grootte en vormeen soort beweging; dat wil zeggen, een soort transformatie of symmetrie. Hier beschouwen we de starre bewegingen van translaties, rotaties, reflecties of glijreflecties. Een vlak van vlakvullingen heeft de volgende eigenschappen:

• Patronen worden herhaald en vullen het vlak.
• Er zijn geen hiaten of overlappingen. Vormen moeten perfect bij elkaar passen. (Het was Escher die vaststelde dat een goede mozaïekpatroon geen gaten en geen overlappingen mocht hebben.)
• Vormen worden gecombineerd met behulp van een transformatie.
• Alle vormen zijn samengevoegd in een hoekpunt. Met andere woorden, als je een cirkel rond een hoekpunt zou tekenen, zou dit een hoek van elke vorm omvatten die dat hoekpunt raakt.
• Voor een mozaïekpatroon van regelmatige congruente veelhoeken is de som van de afmetingen van de binnenhoeken die elkaar ontmoeten in een hoekpunt gelijk aan${360}^{\circ }.$

InFiguur 10.78, bestaat de mozaïekpatroon uit vierkanten. Er zijn vier vierkanten die samenkomen in een hoekpunt. Een binnenhoek van een vierkant is${90}^{\circ }$en de som van vier binnenhoeken is${360}^{\circ }.$InFiguur 10.79, bestaat de mozaïekpatroon uit regelmatige zeshoeken. Er zijn drie zeshoeken die bij elk hoekpunt samenkomen. De binnenhoek van een zeshoek is${120}^{\circ },$en de som van drie binnenhoeken is${360}^{\circ }.$Beide vlakvullingen vullen het vlak, er zijn geen gaten, de som van de binnenhoek die bij het hoekpunt samenkomt is${360}^{\circ },$en beide worden bereikt door vertaaltransformaties. Deze mozaïekpatronen werken omdat alle eigenschappen van een mozaïekpatroon aanwezig zijn.

Figuur10.78 Mozaïekpatroon – Vierkantjes

Figuur10.79 Mozaïekpatroon – Zeshoeken

De bewegingen of starre bewegingen van de vormen die mozaïekpatronen definiëren, worden geclassificeerd als translaties, rotaties, reflecties of glijdende reflecties. Laten we eerst deze bewegingen definiëren en vervolgens kijken naar enkele voorbeelden die laten zien hoe deze transformaties aan het licht komen.

Vertaling

Avertalingis een beweging die de vorm verticaal, horizontaal of diagonaal verschuift. Beschouw de trapezium$ABCD$inFiguur 10.80. We hebben het 3 eenheden naar rechts en 3 eenheden naar boven vertaald. Dat betekent dat elke hoek wordt verplaatst met het aantal eenheden en in de aangegeven richting. Wiskundigen zullen deze beweging aangeven met een vector, een pijl die wordt getekend om de criteria en de omvang van de vertaling te illustreren. De locatie van het vertaalde trapezium is gemarkeerd met de hoekpunten,$A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}},$maar het heeft nog steeds exact dezelfde vorm en grootte als het originele trapezium$ABCD$.

Figuur10.80 Vertaling

Voorbeeld 10.34

Een vertaling maken

Stel dat je een zeshoek op een raster hebt, zoals inFiguur 10.81. Verplaats de zeshoek 5 eenheden naar rechts en 3 eenheden naar boven.

Figuur10.81

Oplossing

De beste manier om dit te doen is door de afzonderlijke punten te vertalen$A,B,C,D,E,F$. Eenmaal vertaald, worden de punten$A^{\text{'}},B^{\text{'}},C^{\text{'}},D^{\text{'}},E^{\text{'}},F^{\text{'}}.$

Figuur10.82

Jouw beurt 10.34

1.

Vertaal de zeshoek met punten$A^{\text{'}},$ $B^{\text{'}},$ $C^{\text{'}},$ $D^{\text{'}},$ $E^{\text{'}},$ $F^{\text{'}}$6 eenheden lager.

Rotatie

De rotatietransformatie vindt plaats wanneer u een vorm rond een punt en onder een vooraf bepaalde hoek roteert. InFiguur 10.83, wordt de driehoek rond het rotatiepunt geroteerd met${90}^{\circ },$en vervolgens 7 eenheden naar boven en 4 eenheden naar rechts vertaald. Dat betekent dat elke hoek met hetzelfde aantal eenheden en in dezelfde richting naar de nieuwe locatie wordt vertaald.

Figuur10.83 Rotatie

Dat kunnen we zien$\text{D}A$wordt in kaart gebracht$\text{D}{A}^{\text{'}}$door een rotatie van${90}^{\circ }$omhoog en naar rechts. Indien opnieuw gedraaid door${90}^{\circ }$, zou de driehoek ondersteboven staan.

Voorbeeld 10.35 uur

Een rotatie toepassen

Figuur 10.84illustreert een mozaïekpatroon beginnend met een gelijkzijdige driehoek. Leg uit hoe dit patroon tot stand komt.

Figuur10.84

Oplossing

Een rotatie naar rechts of naar links rond het hoekpunt door${60}^{\circ },$zes keer, produceert de zeshoekige vorm. De zesde rotatie brengt de driehoek terug naar zijn oorspronkelijke positie. Vervolgens zal een reflectie naar boven en een andere op de diagonaal het patroon reproduceren. Wanneer een vorm door een rotatie terugkeert naar zijn oorspronkelijke positie, zeggen we dat deze rotatiesymmetrie heeft.

Jouw beurt 10.35 uur

1.

Begin met de driehoek in de weergegeven afbeelding en leg uit hoe het patroon aan de rechterkant tot stand is gekomen.

Reflectie

Areflectieis de derde transformatie. Een vorm wordt gereflecteerd rond een lijn en de nieuwe vorm wordt een spiegelbeeld. U kunt de vorm verticaal, horizontaal of diagonaal weerspiegelen. Er zitten twee vormen inFiguur 10.85. De vierhoek wordt horizontaal gereflecteerd; de pijlvorm wordt verticaal gereflecteerd.

Figuur10.85 Reflectie

Glijdende reflectie

Deglijdende reflectieis de vierde transformatie. Het is een combinatie van reflectie en vertaling. Dit kan gebeuren door de vorm eerst te reflecteren en vervolgens te laten glijden of vertalen naar de nieuwe locatie, of door eerst te vertalen en dan te reflecteren. Het voorbeeld erinFiguur 10.86toont een trapezium, dat wordt gereflecteerd over de stippellijn, zodat het ondersteboven lijkt. Vervolgens hebben we de vorm horizontaal 6 eenheden naar rechts verschoven. Of we nu eerst de glide gebruiken of eerst de reflectie, het eindresultaat is in de meeste gevallen hetzelfde. De mozaïekpatroon die in het volgende voorbeeld wordt getoond, kan echter alleen worden bereikt door eerst een reflectie en daarna een vertaling.

Figuur10.86 Glijdende reflectie

Voorbeeld 10.36

Het toepassen van de Glide-reflectie

Een stompe driehoek wordt weerspiegeld rond de stippellijn en de twee vormen zijn met elkaar verbonden. Hoe ziet de mozaïekpatroon eruit?Figuur 10.87materialiseren?

Figuur10.87

Oplossing

De nieuwe vorm wordt horizontaal gereflecteerd en samengevoegd met de oorspronkelijke vorm. Vervolgens wordt het verticaal en horizontaal vertaald om de mozaïekpatroon te vormen. Let op de lege ruimtes naast het verticale patroon. Deze gebieden bestaan ​​uit de exacte originele vorm, geroteerd${180}^{\circ },$maar zonder lijn in het midden. Deze geroteerde vormen worden horizontaal en verticaal vertaald, waardoor het vlak zonder gaten een mozaïekpatroon heeft. Dit is een voorbeeld van een glijdende reflectie waarbij de volgorde van de transformaties ertoe doet.

Jouw beurt 10.36

1.

Leg uit hoe deze mozaïekpatroon van gelijkzijdige driehoeken kan worden geproduceerd.

See Also

10.6: MozaïekpatronenMozaïekpatronen – Mathigon

Voorbeeld 10.37

Meer dan één mozaïekpatroon toepassen

Laat zien hoe deze mozaïekpatroon (Figuur 10.88) kan worden behaald.

Figuur10.88

Oplossing

Dit is een mozaïekpatroon met één kleur aan de voorkant van het trapezium en een andere kleur aan de achterkant. Er is een vertaling op de diagonaal en een reflectie verticaal. Dit zijn twee afzonderlijke transformaties die resulteren in twee nieuwe plaatsingen van de trapezium. We kunnen dit een combinatie van twee transformaties of een glijreflectie noemen.

Jouw beurt 10.37

1.

Hoe komt deze mozaïekpatroon van de vierkanten tot stand?

Binnenhoeken

De som van de binnenhoeken van een mozaïekpatroon is${360}^{\circ }$. InFiguur 10.89, bestaat de mozaïekpatroon uit zes driehoeken in de vorm van een zeshoek. Elke hoek binnen een driehoek is gelijk${60}^{\circ }$, en de zes hoekpunten voldoen aan de som van die binnenhoeken,$6\left({60}^{°}\right)={360}^{°}$.

Figuur10.89 Binnenhoeken op de hoekpunten van driehoeken

InFiguur 10.90, bestaat de mozaïekpatroon uit trapeziums, zodat twee van de binnenhoeken van elk trapezium gelijk zijn aan${75}^{°}$en de andere twee hoeken zijn gelijk${105}^{°}$. De som van de binnenhoeken waar de hoekpunten van vier trapeziums elkaar ontmoeten, is dus gelijk${105}^{°}+{75}^{°}+{75}^{°}+{105}^{°}={360}^{°}$.

Figuur10.90 Binnenhoeken bij de top van trapeziums

Deze mozaïekpatronen illustreren de eigenschap dat de vormen samenkomen op een hoekpunt waar de binnenhoeken optellen${360}^{°}$.

Mozaïekvormen

We zouden kunnen denken dat alle regelmatige veelhoeken vanzelf een mozaïekpatroon in het vlak vormen. We hebben gezien dat vierkanten dat doen en zeshoeken. Het patroon van vierkanten inFiguur 10.91is een vertaling van de vorm horizontaal en verticaal. Het zeshoekige patroon inFiguur 10.92, wordt horizontaal vertaald en vervolgens diagonaal, naar rechts of naar links. Dit specifieke patroon kan ook worden gevormd door rotaties. Beide mozaïekpatronen zijn opgebouwd uit congruente vormen en elke vorm past perfect in het patroon dat zich herhaalt.

Figuur10.91 Vertaal horizontaal en verticaal

Figuur10.92 Horizontaal vertalen en diagonaal schuiven

We hebben ook gezien dat gelijkzijdige driehoeken het vlak zonder gaten of overlappingen zullen bedekken, zoals weergegeven inFiguur 10.93. Het patroon ontstaat door een reflectie en een vertaling. De donkere kant is de voorkant van de driehoek en de lichtere kant is de achterkant van de driehoek, zoals blijkt uit de reflectie. Elke driehoek wordt gereflecteerd en vervolgens op de diagonaal vertaald.

Figuur10.93 Reflectie en glijvertaling

Escher experimenteerde met alle regelmatige veelhoeken en ontdekte dat alleen de genoemde, de gelijkzijdige driehoek, het vierkant en de zeshoek, op zichzelf een mozaïekpatroon in het vlak vormen. Laten we een paar andere regelmatige veelhoeken proberen om te observeren wat Escher ontdekte.

Voorbeeld 10.38

Het vlak bekleden

Vormen regelmatige vijfhoeken zelf een mozaïekpatroon in het vlak (Figuur 10.94)?

Figuur10.94

Oplossing

We kunnen zien dat regelmatige vijfhoeken het vlak niet zelf vormen. Er is een opening, een opening in de vorm van een parallellogram. We concluderen dat regelmatige vijfhoeken het vlak niet op zichzelf zullen vormen.

Jouw beurt 10.38

1.

Vormen regelmatige zevenhoeken zelf een mozaïek van het vliegtuig?

Voorbeeld 10.39

Mozaïekvormige achthoeken

Vormen regelmatige achthoeken zelf een mozaïekpatroon in het vlak (Figuur 10.95)?

Figuur10.95

Oplossing

Opnieuw zien we dat regelmatige achthoeken het vlak niet op zichzelf vormen. De gaten zijn echter vierkanten. Twee regelmatige veelhoeken, een achthoek en een vierkant, vormen dus een mozaïek van het vlak.

Jouw beurt 10.39

1.

Vormen regelmatige twaalfhoeken (12-zijdige regelmatige veelhoeken) zelf een mozaïekpatroon in het vlak?

Het feit dat regelmatige vijfhoeken op zichzelf geen mozaïek vormen in het vlak betekent niet dat er geen vijfhoeken zijn die het vlak in mozaïek vormgeven, zoals we zien inFiguur 10.96.

Figuur10.96 Mozaïekpatroon van vijfhoeken

Een ander voorbeeld van een onregelmatige veelhoek die het vlak vormt, is door gebruik te maken van de stompe onregelmatige driehoek uit een eerder voorbeeld. Welke transformaties moeten worden uitgevoerd om de mozaïekpatroon te produceren die wordt weergegeven inFiguur 10.97?

Figuur10.97 Mozaïekpatroon met stompe onregelmatige driehoeken

Eerst wordt de driehoek op het punt gereflecteerd over de punt$A$, en vervolgens naar rechts vertaald en samengevoegd met de oorspronkelijke driehoek om een ​​parallellogram te vormen. Het parallellogram wordt vervolgens op de diagonaal en naar rechts en naar links vertaald.

Wij

Een mozaïekpatroon van vierkanten wordt benoemd door een hoekpunt te kiezen en vervolgens het aantal zijden van elke vorm te tellen die het hoekpunt raken. Elk vierkant in de mozaïekpatroon weergegeven inFiguur 10.98heeft vier zijden, dus beginnend met een vierkant$A$, het eerste getal is 4, en beweegt tegen de klok in naar het volgende vierkant dat het hoekpunt raakt, vierkant$B$, we hebben er nog 4, vierkant$C$voegt er nog eens 4 aan toe, en tenslotte vierkant$D$voegt een vierde 4 toe. We zouden deze mozaïekpatroon dus een 4.4.4.4 noemen.

De zeshoekige mozaïekpatroon, weergegeven inFiguur 10.99heeft zes zijden van de vorm en drie zeshoeken ontmoeten elkaar bij het hoekpunt. We zouden dit dus een 6.6.6 noemen. De driehoekige mozaïekpatroon, weergegeven inFiguur 10.100heeft zes driehoeken die het hoekpunt ontmoeten. Elke driehoek heeft drie zijden. Daarom noemen we dit een 3.3.3.3.3.3.

Figuur10.98 4.4.4.4

Figuur10,99 6.6.6

Figuur10.100 3.3.3.3.3.3

Voorbeeld 10.40 uur

Uw eigen mozaïekpatroon maken

Maak een mozaïekpatroon met twee kleuren en twee vormen.

Oplossing

We gebruikten een parallellogram en een gelijkbenige driehoek. Het parallellogram wordt verticaal en horizontaal gereflecteerd, zodat alleen elke andere hoek elkaar raakt. De driehoeken worden verticaal en horizontaal gereflecteerd en vervolgens over het parallellogram verschoven. Het resultaat is afwisselend verticale kolommen van parallellogrammen en vervolgens driehoeken (Figuur 10.101).

Figuur10.101

Jouw beurt 10.40 uur

1.

Maak een mozaïekpatroon met veelhoeken, regelmatig of onregelmatig.

Controleer uw begrip